Remainder xuất hiện tương đối nhiều trong GMAT, có nhiều bài mọi người có thể làm nhanh, nhưng cũng nhiều bài tương đối khó chịu. Trong post này chúng ta sẽ cùng điểm qua một vài bài Quant liên quan remainder, một số bài trong đó có thể tổng quát hóa được để áp dụng trong bất kỳ hoàn cảnh nào.
Ví dụ 1:
What is the remainder when positive integer t is divided by 5?
(1) When t is divided by 4, the remainder is 1
(2) When t is divided by 3, the remainder is 2
Số liệu của bài này tương đối dễ, với các dữ kiện (1) hoặc (2) riêng lẻ thì ko thể có kết luận gì về số dư của t khi chia cho 5.
Bây giờ kết hợp cả 2 dữ kiện: số đầu tiên thỏa mãn chia 4 dư 1 và chia 3 dư 2 là 5 (trong trường hợp này remainder khi chia 5 = 0). Số thứ 2 thỏa mãn là 17 (lúc này số dư khi chia 5 = 2) vậy là không xác định được remainder và đáp án là E.
Chỗ này giải thích một chút, làm sao chọn ra được số thứ 2 là 17 nhanh? Chỉ cần cộng số đầu tiên với bội chung của 3 & 4 là 12, lúc đó số dư sẽ không thay đổi.
Bây giờ thay đổi số liệu một chút xem liệu nó có còn dễ với phương pháp chọn số để test?
What is the remainder when positive integer t is divided by 11?
(1) When t is divided by 19, the remainder is 1
(2) When t is divided by 13, the remainder is 2
Chọn một số chia 19 dư 1 và chia 13 dư 2 có vẻ cũng không dễ dàng gì, sau đó phải cộng với bội chung của 19 và 13 rồi test số dư khi chia cho 11, đoạn này còn tốn công hơn.
Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng một cách tiếp cận đơn giản hơn và cần ít tính toán hơn:
Gọi K là số đầu tiên thỏa mãn chia 19 dư 1, chia 13 dư 2 (K là bao nhiêu không cần biết). Khi đó [latex] (K + 19 \times 13) [/latex] cũng chia 19 dư 1 và chia 13 dư 2. Bây giờ so sánh số dư khi chia cho 11 của [latex]K[/latex] và [latex] (K + 19 \times 13) [/latex], vì [latex]19 \times 13[/latex] không chia hết cho 11 nên 2 số dư của [latex]K[/latex] và [latex] (K + 19 \times 13) [/latex] là khác nhau. Đáp án vẫn là E. Vậy thì cái chúng ta cần quan tâm ở đây chính là liệu [latex]19 \times 13[/latex] có chia hết cho 11 hay không mà thôi.
Tổng quát hóa dạng bài này để các bạn có thể dễ dàng xử lý nó trong 30s:
What is the remainder when positive integer T is divided by X?
(1) When T is divided by Y, the remainder is a
(2) When T is divided by Z, the remainder is b
– Nếu Y chia hết cho X, Z không chia hết cho X đáp án là A.
– Nếu Y không chia hết cho X, Z chia hết cho X đáp án là B.
– Nếu Y, Z không chia hết cho X nhưng Y * Z chia hết cho X đáp án là C.
– Nếu Y, Z đều chia hết cho X, đáp án là D.
– Nếu Y * Z không chia hết cho X, đáp án là E.
Nếu không tin các bạn cứ thay số vào để thử ^_^
Biến thể bài trên một chút:
If [latex]x[/latex] is an integer, is [latex]x[/latex] between 27 and 54?
(1) The remainder when [latex]x[/latex] is divided by 7 is 2.
(2) The remainder when [latex]x[/latex] is divided by 3 is 2.
Nhìn vào đề này chúng ta có thể kết luận ngay đáp án là E, vì nếu [latex]x[/latex] thỏa mãn thì [latex](x + k \times 21)[/latex] cũng thỏa mãn chia 7 dư 2, chia 3 dư 2. Nên kiểu gì cũng có [latex]x[/latex] nằm ngoài khoảng 27 đến 54.
Ý tưởng của ví dụ 1 đến từ post này: https://gmatclub.com/forum/how-to-solve-remainder-problems-142591.html. Các bạn có thể đọc và xem cách approach nào đơn giản hơn.
Ví dụ 2:
What is the remainder when [latex]3^{84}[/latex] divided by 26?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 24 E. 25
Nhìn qua thì bài này cũng tương đối khó, tính toán phức tạp. Nhưng nên nhớ rằng GMAT không bao giờ bắt bạn phải tính toán những biểu thức phức tạp, cái khó là reasoning để làm sao có được những cách tính đơn giản.
Để ý một chút thì [latex] 26 = 27 – 1 = 3^3 – 1 [/latex] do đó [latex] 3^{84} = 27^{28} = (26 + 1)^{28} [/latex]. Khi khai triển biểu thức này thì tất cả các phần tử có chứa 26 đều sẽ chia hết cho 26, nên phần dư chỉ còn lại 1. Đáp án B.
Với một số bài khác khi biểu thức trong ngoặc không phải là dấu cộng mà là dấu trừ thì số dư phụ thuộc số mũ. Ví dụ [latex] (26 – 1)^{27} [/latex] chia 26 sẽ dư 25, và [latex] (26 – 1)^{28} [/latex] chia 26 sẽ dư 1.
Câu khác:
What is the remainder when [latex]2^{83}[/latex] is divided by 9?
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 8
Biến đổi một chút: [latex]2^{83} = 4*8^{27} = 4*(9-1)^{27}[/latex].
[latex](9-1)^{27}[/latex] chia cho 9 sẽ dư 8, do đó số dư của [latex]2^{83}[/latex] chia 9 cũng chính bằng số dư của [latex]4*8 = 32[/latex] chia 9, bằng 5.
Ví dụ 3: (câu này tricky hơn)
Numbers a and b are positive integers. If [latex] a^4 – b^4 [/latex] is divided by 3, what is the remainder?
1) When [latex] a+b [/latex] is divided by 3, the remainder is 0
2) When [latex] a^2+b^2 [/latex] is divided by 3, the remainder is 2
Nhìn qua thì dữ kiện (1) hiển nhiên đủ, vấn đề là dữ kiện số (2).
Một số [latex]x[/latex] khi chia 3 có thể có các số dư: 0, 1, 2. Tuy nhiên [latex]x^2[/latex] chia 3 chỉ có thể nhận 2 số dư 0 hoặc 1. Giả sử [latex]x[/latex] chia 3 dư [latex]2 \to x = 3n + 2 \to x^2 = (3n + 2)^2 = (3n)^2 + 12n + 4[/latex]. Chia 3 sẽ dư 1.
Vậy khi nào thì [latex]a^2 + b^2[/latex] chia 3 dư 2? Đó chỉ có thể là khi cả [latex]a^2[/latex] và [latex]b^2[/latex] đều cùng chia 3 dư 1. Khi đó [latex]a^2 – b^2[/latex] sẽ chia hết cho 3, và [latex]a^4 – b^4[/latex] cũng chia hết cho 3.
Đáp án là D.
